Медіани і бісектриси трикутника

Для медіан трикутника справедливі наступні твердження:

• Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них по відношенню до 2: 1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром ваги трикутника.
• Медіана розбиває трикутник на два трикутника з однаковою площею
• Весь трикутник розділяється своїми медианами на шість рівновеликих трикутників.
• У трикутник медіана, опущена на основу, є висотою і бісектрисою.
• У рівнобічному трикутнику кожна медіана є висотою і бісектрисою.

Формула для обчислення медіани

де c – сторона трикутника, до якої проводиться медіана, a i b – дві інші сторони цього трикутника.

Щоб по сторонах і медіані знайти сторону трикутника, досить знати хід виконання задачі. Вчити додаткову формулу не обов'язково. По двох сторонах і медіані знайти третю сторону трикутника - задача, зворотна знаходженню медіани трикутника за трьома його сторонами. Спочатку розглянемо, як по сторонах і медіані знайти сторону трикутника, в загальному вигляді.

Нехай в трикутнику ABC відомі сторони AB = c, AC = b і медіана BF = m.
На промені BF відкладемо відрізок FD, FD = BF і з'єднаємо точку D з точками A і C.

Оскільки в отриманому чотирикутнику ABCD діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то ABCD - паралелограм (за ознакою). А значить, ми можемо застосувати властивість діагоналей паралелограма: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін. Маємо: AC² + BD² = 2 (AB² + BC²). Звідси b² + (2m) ² = 2 (c² + BC²), b² + 4m² = 2c² + 2BC², BC² = (b² + 4m²-2c²) / 2.
Переходимо до розв'язання конкретного завдання.
По двох сторонах 6 см і 8 см і медіані, проведеної до третьої сторони, знайти невідому сторону трикутника. Довжина медіани дорівнює √46 см.
Нехай AB = 6 см, BC = 8 см, BF = √46 см. Міркуючи аналогічно, отримуємо: AC² + BD² = 2 (AB² + BC²), AC² + (2√46) ² = 2 (6² + 8²), AC² + 4 ∙ 46 = 200, AC² = 200-184 = 16, AC = 4 см.

Бісектриси трикутника

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони.

На малюнку 208 відрізок АL₁ — бісектриса трикутника АВС. Точку L₁ називають основою бісектриси АL₁. Будь-який трикутник має три бісектриси. На малюнку 209 АL₁, ВL₂, СL₃ — бісектриси трикутника.

Властивості бісектриси трикутника.

1. У будь-якому трикутнику бісектриси перетинаються в одній точці, яка називається інцентром. На мал.209 точка І — інцентр трикутника.

2. Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам. На мал.208 АL₁ — бісектриса трикутника. Тоді

AB/BL₁ = AC/L₁C Звідси слідує, що AB/AC = BL/L₁C₁

Приклад 1. У трикутнику АВС АВ = 6 см; АС = 12 см; АL₁ — бісектриса. Більший з відрізків, на які бісектриса АL₁ ділить сторону ВС, дорівнює 6 см. Знайдіть ВС.

Розв’язання. Оскільки AB/AC = BL/L₁C₁ i AB < AC то і BL₁ < L₁C Тоді виходячи з умови L₁С = 6 см, маємо BC = BL₁ + L₁C = 6 + 3 = 9(см).

Довжину бісектриси трикутника lа, проведеної до сторони а (мал. 208) можна знайти за формулами:

де b, с — сторони трикутника; b₁ і с₁ — відрізки сторони а, на які її ділить бісектриса;

Приклад 2. Обчисліть бісектрису АL₁ трикутника АВС, якщо АВ = 12 см; АС = 15 см; ВС = 18 см.

Розв’язання (мал. 208). Позначимо ВL1 = х, тоді L₁С = 18 - х. За властивістю бісектриси маємо AB/BL₁ = AC/L₁C; 12/X = 15/(18-X); 216 - 12X = 15X; 27X = 216; X = 8.

Отже, ВL₁ = 8 см; L₁С = 10 см.

За формулою для обчислення довжини бісектриси маємо

Калькулятор трикутника - наш онлайн калькулятор для розрахунку елементів трикутника