Формули скороченого множення.

Формули для квадратів

Формули для кубів

Формули для четвертої степені

Формули для n-тої степені

Тема уроку. Розв'язування вправ на застосування формул скороченого множення.

Мета уроку: формування вмінь учнів розкладати многочлен на множники, застосовуючи формули скороченого множення.

Тип уроку: комбінований.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Перевірити наявність виконаного домашнього завдання та відповісти на запитання, які виникли в учнів.

Розв'язання

• Вправа 694.

1. a) p² – q² = (p – q)(p + q); б) х² – 16 = (x – 4)(x + 4);

в) x² – 9y² = (x – 3y)(x + 3y);               г) р² – x⁴ = (р – х²)(р + х²);

ґ) а² – с²х² = (а – сх)(а + сх);            д) 9а² – 4b² = (3a – 2b)(3a + 2b).

• Вправа 698.

а) а² + 2ат + т² = (а + т)²;            б) x² + 4х + 4 = (х + 2)²;

в) а² + 4аb + 4b² = (a + 2b)²;             г) b² – 6b + 9 = (b – 3)².

• Вправа 701.

а) (2а – 1)² – 100 = (2а – 1)² – 10² = (2а – 1 – 10)(2а – 1 + 10) =
    = (2a – 11)(2а + 9);

б) 1 – (a – b)² = (1 – (a – b))(1 + (a – b)) = (1 – а + b)(1 + a – b);

в) (x + c)² – 9х²с⁴ = (х + с – 3хс²)(х + с + 3хс²);

г) (1 – x²)² – 4х² = (1 – х² – 2x)(1 – x² + 2х).

• Вправа 702.

а) (3x – 5)² – 49x² = (3x – 5 – 7х)(3х – 5 + 7x) = (-4x – 5)(10x – 5);

б) 4 – (7y – 5)² = 2² – (7y – 5)² = (2 – 7у + 5)(2 + 7y – 5) = (7 – 7y)(7y – 3);

в) (0,5 – 3а)² – 16а⁴ = (0,5 – 3а – 4а²)(0,5 – 3а + 4а²);

г) 64n² – (1,5 – 2n)² = (8n – 1,5 + 2n)(8n + 1,5 – 2n) = (10n – 1,5)(6п + 1,5).

• Вправа 706.

а) 81a⁴ – 1 = (9a² – 1)(9a² + 1) = (3a – 1)(3a + 1)(9a² + 1);

б) а(а² – x²) + 2(x² – а²) = а(а² – х²) – 2(а² – x²) = (а² – x²)(а – 2) =

    = (а – x)(а + x)(а – 2).

• Вправа 709.

а) х² – 6х + 9 = 0; (x – 3)² = 0; х – 3 = 0; х = 3. Відповідь.3.

б) z² + 4z + 4 = 0 ; (z + 2)² = 0; z + 2 = 0; z = -2 . Відповідь. -2.

в) 5(у² – 8у + 16) = 0; y² – 8y + 16 = 0; (y – 4)² = 0; у – 4 = 0; у = 4.

    Відповідь. 4.

г) ; х² – х + = 0; ; х –  = 0; x = . Відповідь. .

2. Розв'язування вправ.

Розкладіть многочлени на множники (усно).

1. II. Формування вмінь учнів розкладати многочлен на множники, застосовуючи формули скороченого множення

Розв'язування вправ:

• колективно — 712 (а, д), 713 (а, г), 714 (а, г), 716, 717 (а, г), 719 (а, г), 720 (а, г), 721 (а, д), 723 (а, г), 724 (а, г), 725 (а, г), 728 (а, г), 732;
• самостійна робота навчального характеру:

варіант 1 — 712 (б, г), 713 (в), 714 (б), 717 (в), 719 (б), 720 (в), 721 (б, г), 723 (в), 724 (б), 725 (в), 728 (б), 733;

варіант 2 — 712 (в, ґ), 713 (б), 714 (в), 717 (б), 719 (в), 720 (б), 721 (в, ґ), 723 (б), 724 (в), 725 (б), 728 (в), 735.

Розв'язання і відповіді

• Вправа 712.

а) (ху – 9)(ху + 9);                             б) (0,2m + n²)(0,2m – n²);

в) ;                  г) (0,01 – a⁴y³)(0,01 + a⁴y³);

ґ) (0,12 – xy⁵)(0,12 + xy⁵);                   д) (a⁵b⁴c² – 1)(a⁵b⁴c² + 1).

• Вправа 713.

а) (1 – а – b – с)(1 + а + b + с);        б) (2х – у – 3)(2х + 3у – 3);

в) (3 – a)(l0a² – a + 3);                       г) (х² – 6x + 1)(x² + 1).

• Вправа 714.

а) (а² - n)²;    б) (а + п²)²;          в) (c⁴ – 3y³)²;         г) (3c⁴ + x³)².

• Вправа 716.

а) (x – 1)(x – 1)(x + 1)(x² + 1);             б) (с – 2)(с + 2)(с² + 4)(с – 1).

• Вправа 717.

а) 20;            б) 0,09;       в) 17;          г) 1717.

• Вправа 719.

а) 1;              б) 1;           в) -4;          г) 9.

• Вправа 720.

а) Оскільки х² – 22x – 121 = (х – 11) і (x – 11) > 0, то даний вираз невід'ємний.

б) Оскільки -x² + 20x – 100 = -(x² – 20x + 100) = -(x – 10)² і (х – 10) > 0, то   

     -(x – 10) < 0, отже, даний вираз не додатний.

в) Оскільки х² – 10х + 26 = х² – 10х + 25 + 1 = (х – 5)² + 1 і (х – 5) + 1 > 0, то даний вираз додатний.

г)  Оскільки -х² + 6x – 10 = -(x² + 6x + 10) = -(x² + 6x + 9) – 1 = -(х + 3)² – 1 =

     =  -((x + 3)² + 1) і (х + 3)² + 1 > 0, то –((x + 3)² +1) < 0, отже, даний вираз від'ємний.

• Вправа 721.

1. a) (a²b² – 1)(a²b² + 1); б) ;

в) (m² – 0,5n⁵ )(m² + 0,5n⁵);                г) 1 + 8ху² + 16х²y⁴;

ґ) 0,04 – 0,48ab + l,44a²b²;                 д) 36х⁴ – 24х²у² + 4у⁴.

• Вправа 723.

а) т = 4с²;             б) т = 25;            в) т = 9;              г) т = 36z.

• Вправа 724.

а) Оскільки (а² – х²) + (2ах)² = а⁴ – 2а²х² + x⁴ + 4а²х² = а⁴ + 2а²х² + x⁴ =

    = (а² + х²)², то тотожність доведена;

б) оскільки (а² – с²) + 2(а² – с)(а² + с) + (а² + с)² = ((а² – с²) + (а² + с²))² =

    = (а² – с² + а² + с²)² = (2а²)² = 4а⁴, то тотожність доведена;

в) оскільки а⁸ – х⁸ = (а⁴ – x⁴)(а⁴ + х⁴) = (а⁴ + х⁴)(а² + х²)(а² – x²) =

    = (а⁴ + х⁴)(а² + х²)(а + х)(а – х), то тотожність доведена;

г) оскільки (а + х – у)² – (а – х + у)² =

    = ((а + х – у) – (а – х + у))((а + х – у) + (а – х + у)) =

    = (a + x – y – a + x – y)(a + x – у + а – x + y) =

    = (2x – 2y) · 2a = 4a(x – y), то тотожність доведена.

• Вправа 725.

3. a) (x – 1)³; б) (a – 1)³;           в) (a + 2)³;            г) (2y – 1)³.

• Вправа 728.

а) 5.              б) -7.          в) 0,5.         г) -0,25.

• Вправа 732.

а) Оскільки (х – у)² = х² – у², то х² – 2ху + у² = х² – у² або 2у² – 2ху = 0; тоді у² = ху; у(у – х) = 0; у = 0 або х = у;

б) оскільки (x + у)² = х² + у², то x² + 2xy + у² = х² + у², звідси 2ху = 0 ; х = 0 або у = 0 . Рівність вірна, якщо хоча б одне з чисел х, у дорівнює 0.

• Вправа 733.

Нехай 2п – 1, 2n + 1 — послідовні непарні натуральні числа, тоді

(2п + 1)² – (2n – 1)² = 144. Звідси (2n + 1 – 2п + 1)(2n + 1 + 2п – 1) = 144;

2 · 4п = 144; 8n = 144; n = 18.

Отже, шукані числа: 2 · 18 – 1 = 35 і 2 · 18 +1 = 37. Відповідь. 35 і 37.

• Вправа 735.

Нехай х і х + 21 — шукані числа, тоді (х + 21)² – х² = 1155.

Тоді (х + 21 – х)(х + 21 + х) = 1155; 21(2x + 21) = 1155; 2х + 21 = 55; 2х = 34; x = 17. Отже, шукані числа: 17 і 17 + 21 = 38 . Відповідь. 17 і 38.

III. Повторення раніше вивченого матеріалу

Розв'язування вправ 737—740.

Розв'язання і відповіді

• Вправа 737.

а) ;           б) 11.

• Вправа 738.

Путівки між відмінниками можна розподілити  = 15 (способами).

• Вправа 739.

а) 13⁹ – 13⁸ – 13⁷ = 13⁷ · (13² – 13 – 1) = 13⁷ · (169 – 13 – 1) = 13⁷ · 155. Оскільки 155 кратне 5, то даний вираз кратний 5.

б) 23¹¹ – 23¹⁰ – 23⁹ = 23⁹ · (23² – 23 – 1) = 23⁹ · (529 – 24) = 23⁹ · 505. Оскільки 505 кратне 101, то даний вираз кратний 101.

• Вправа 740.

а) 4,2 · 10⁸; 3,8 · 10⁸; 8 · 10¹⁵; 20.

б) 5,6 · 10¹⁹; 1,6 · 10¹⁹; 7,2 · 10³⁸; 1,8.

1. IV. Домашнє завдання

• 18. Вправи 715, 718, 722, 726, 729, 734.

1. V. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу.

1) До кожного многочлена, розташованого ліворуч, знайдіть тотожно рівний вираз, з правого стовпчика

2) Розкладіть на множники многочлени:

2. a) 1 – 2z + z²; б) а² + 12а + 36; в) п² + 4n + 4;      г) 64 – 16b + b².