В 1796 р. великий німецький математик Карл Фрідріх Гаусс (1777 — 1855) зміг довести, що циркулем і лінійкою побудувати правильні 7-кутник і 9-кутник неможливо. У 1801 р. Гаусс показав, що циркулем і лінійкою можуть бути побудовані лише ті правильні n-кутники з непарною кількістю сторін, для яких число n є простим числом Ферма (Пьер Ферма (1601 – 1665) — французький математик, один з фундаторів теорії чисел). Зараз відомо лише п’ять простих чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Гауссу вдалося побудувати правильний 17-кутник. Він надавав цьому відкриттю настільки великого значення, що заповідав увіковічнити 17-кутник на його надгробку. На могильній плиті Гаусса цього рисунку немає, проте сам пам’ятник стоїть на сімнадцятикутному постаменті.

Пропоную метод побудови цих багатокутників. Розглянемо побудову на прикладі семикутника. Будуємо шестикутник на колі радіусом ОА=1. Потім проведемо два промені ОА і ОВ за межі кола. Відзначимо сім однакових відрізків на промені ОВ. Хай ОD складається з шести, а ОE з семи цих відрізків. З'єднаємо точку D з точкою А. Потім через точку Е проведемо паралельно DА пряму до перетину променя ОА з нею в точці С. Тоді згідно правила побудови пропорційних відрізків ОС=1ціла¹/₆. Проведемо коло радіусом ОС. Якщо тепер побудувати вже на цьому колі правильний семикутник, то всі його сім сторін стануть рівними CF=ОА=⁶/₇ОС. Отже, на даному колі розхилом циркуля рівним одиничному відрізку можна відкласти сім точок і побудувати правильний семикутник.

Таким чином, можна будувати і інші, правильні багатокутники. Так 9-ти кутник, будуємо на базі 8-ми кутника, 11-ти кутник на основі 10-ти кутника і так далі.

Якщо відкласти КС=АС, то ОК=⁸/₆ОА і на колі радіуса ОК одиничним розхилом циркуля відкладаємо 8 однакових відрізків, побудувавши на ньому правильний 8-кутник і т.д. Наприклад: якщо на прямій ОА ОХ=ⁿ/₆, то на колі радіусом ОХ одиничним розхилом циркуля можна побудувати правильний n-кутник.

Якщо хто сумнівається в правильності, хай представить доказ невірності пропонованого методу.