Калькулятор поліномів - обчислення арифметичних виразів із многочленами

Калькулятор допомагає швидко обчислювати значення арифметичного виразу, що містить поліноми змінної 'x'. Степінь члена полінома записується як ^. Допускається введення лише цифр, знаків арифметичних операцій +, -, *, /, круглих дужок, символу x для задання змінної, ^ для задання степеня члена полінома і любої кількості пробілів.
Увага! У разі появи залишку при діленні поліномів залишок відкидається, через що кінцева відповідь може не збігатися з дійсною!

Наприклад, щоб обчислити выраз (x² + 2x + 1) * (x⁴ + 1) потрібно ввести в поле введення рядок (x^2 + 2x + 1) * (x^4 + 1).

Що таке поліном або многочлен?

В математиці поліномом або многочленом однієї змінної називається выраз виду a0 + a1·x + a2·x2 + ... + an·xn, де ai — фіксировані коеффіцієнти, x — змінна, а n — степінь полінома.

Приклади многочленів:

• 10 — многочлен нульового степеня, або звичайна константа
• 5x-7 — многочлен 1 степеня, або звичайна лінійна функція,
• x2+2x+1 — многочлен 2 степеня, або парабола
• x6+2x5+x4+x2+2x+1 — многочлен 6 степеня

Арифметичні дії над поліномами

Сума та різниця двох поліномів

Щоб знайти результат суми або різниці двох многочленів потрібно додати або відняти коефіцієнти при однакових степенях. При цьому, якщо в одного з поліномів немає якогось степеня, то вважатимемо, що коефіцієнт при ньому дорівнює нулю.

Приклад: обчислити суму та різницю поліномів x2+2x+1 и x4-7x3-x+10
Рішення:

1. Визначимо степені полиномів: 2 и 4.
2. Перепишемо многочлени у вигляді полінома четвертого степеня (максимального зі степенів доданків) з усіма пропущеними степенями: 0x4+0x3+x2+2x+1 и x4-7x3+0x2-x+10
3. Додамо коефіцієнти при однакових степенях для обчислення суми поліномів: 0x4+0x3+x2+2x+1 + x4-7x3+0x2-x+10 = (0+1)·x4+(0-7)·x3+(1+0)·x2+(2-1)·x+(1+10) = x4-7x3+x2+x+11
4. Віднімемо коефіцієнти при одинакових степенях другого многочлена від першого для обчислення різниці поліномів: 0x4+0x3+x2+2x+1 - x4-7x3+0x2-x+10 = (0-1)·x4+(0-(-7))·x3+(1-0)·x2+(2-(-1))·x+(1-10) = -x4+7x3+x2+3x-9

Відповідь: сума: x4-7x3+x2+x+11, різниця: -x4+7x3+x2+3x-9

Добуток двох поліномів

Щоб обчислити добуток двох поліномів, потрібно кожен член першого многочлена помножити на кожен член із многочленів другого. Степінь отриманого члена визначається за звичайними правилами обчислення степенів.

Приклад: обчислити добуток поліномів x2+2x+1 и x3-7x+5
Рішення:

1. Помножимо x2 на x3-7x+5 = (1·1)·x2+3+(1·(-7))·x2+1+(1·5)·x(2+0) = x5-7x3+5x2
2. Помножимо 2x на x3-7x+5 = (2·1)·x1+3+(2·(-7))·x1+1+(2·5)·x(1+0) = 2x4-14x2+10x
3. Помножимо 1 на x3-7x+5 = (1·1)·x0+3+(1·(-7))·x0+1+(1·5)·x(0+0) = x3-7x+5
4. Додамо отримані частини підсумкового полінома: x5-7x3+5x2 + 2x4-14x2+10x + x3-7x+5 = x5+2x4-6x3-9x2+3x+5

Відповідь: x5+2x4-6x3-9x2+3x+5