Формула Кардано для для знаходження коренів кубічного рівняння

Формула була вкрадена у Тартальї та опублікована Джероламо Кардано

Приведення кубічного рівняння до зведеного виду

Розглянемо кубічне рівняння:
(1)   $$\alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta = 0$$
де \(\alpha \ne 0\) Розділимо його на \(\alpha\)
(2) $$x^3 + a x^2 + b x + c = 0$$ де \(a = \beta/\alpha \)   \( c = \delta/\alpha\) Далі вважаємо, що a і c – є дійсні числа.

Приведем рівняння (2) до більш простого вигляду. Для цього зробимо підстановку \(x = y - y_0\) $$( y - y_0 )^3 + a ( y - y_0 )^2 +b ( y - y_0 ) + c = 0$$ $$y^3 - 3 y^2 y_0 + 3 y y_0^2 - y_0^3 +a ( y^2 - 2 y y_0 + y_0^2 ) +b ( y - y_0 ) + c = 0$$ $$y^3 + (a - 3 y_0) y^2 +(3 y_0^2 - 2 a y_0 + b) y - y_0^3 +a y_0^2 - b y_0 + c = 0$$ Прирівняємо коефіцієнт при \(y^2\) до нуля. Для цього покладемо \(y_0 = \frac{a}3 :\) $$y^3 + \left(3 \left( \frac{a}3 \right)^2 - 2 a \frac{a}3 + b\right) y - \left( \frac{a}3 \right)^3 + a \left( \frac{a}3 \right)^2 - b \left( \frac{a}3 \right) + c = 0$$ $$y^3 + \left( \frac{a^2}3 - 2 \frac{a^2}3 + b\right) y - \left( \frac{a}3 \right)^3 + 3 \left( \frac{a}3 \right)^3 - \frac{ab}3 + c = 0$$ $$y^3 + \left( - \frac{a^2}3 + b\right) y + 2 \left( \frac{a}3 \right)^3 - \frac{ab}3 + c = 0$$ Отримуємо зведене рівняння виду:
(3)   $$y^3 + p y + q = 0$$ де $$p = - \frac{a^2}3 + b$$ $$q = 2 \left( \frac{a}3 \right)^3 - \frac{ab}3 + c$$

Вивід формули Кардано

Рішаєм рівняння (3). Робимо підстановку
(5) $$y = u + v$$ $$(u+v)^3 + p (u+v) + q = 0$$ $$u^3 + 3 u^2 v + 3 u v^2 + v^3 + p (u+v) + q = 0$$ $$u^3 + v^3 + 3 u v ( u + v ) + p (u+v) + q = 0$$ $$u^3 + v^3 + (3 u v + p) ( u + v ) + q = 0$$ Щоб це рівняння справджувалось, покладемо
(6)   \(u^3 + v^3 = -q\)
(7)   \(u v = - \frac{p}3\)

Із (7) маємо:
$$v = -\frac{p}{3u}$$
Підставим в (6):
$$u^3 - \left( \frac{p}{3u} \right)^3 = -q$$
$$\left( u^3 \right)^2 + q u^3 - \left( \frac{p}{3} \right)^3 = 0$$

Рішаємо квадратне рівняння.
(8)   $$u^3 = \frac12 \left( -q \pm \sqrt{ q^2 + 4 \left( \frac{p}{3} \right)^3 } \right)$$
Візьмем верхній знак “+”:
$$u^3 = -\frac{q}2 + \sqrt{ \left( \frac{q}2 \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 } = -\frac{q}2 + \sqrt{ Q }$$
де ми ввели позначення
$$Q = \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}2 \right)^2$$
Із (6) маємо:
$$v^3 = -q - u^3 = -\frac{q}2 - \sqrt{ Q }$$

Отже, ми знайшли рішення зведеного рівняння у наступному вигляді:
(5)   $$y = u + v$$
(9)   $$u = \sqrt[3\;]{-\frac{q}2 + \sqrt{ Q }}$$
(10)   $$v = \sqrt[3\;]{-\frac{q}2 - \sqrt{ Q }}$$
(7)   $$u v = - \frac{p}3$$
(11)   $$Q = \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}2 \right)^2$$
Таке рішення називається формулою Кардано.

Якщо ми при виборі знака квадратного кореня в (8), візьмемо нижній знак, то \(u\) і \(v\) поміняються місцями, і ми не отримаємо нічого нового. Величини \(u\) і \(v\) рівні кубічним корінням, тому вони мають три значення. З усіх можливих пар \(u\) і \(v\) потрібно вибрати такі, які задовольняють рівняння (7).

Отже, алгоритм розв'язання зведеного кубічного рівняння
(3)   $$y^3 + p y + q = 0$$ наступний.
1) Спочатку ми визначаємо будь-яке значення квадратного кореня \(\sqrt{ Q }\)
2) Обчислюємо три значення кубічного кореня \(u\)
3) Використовуючи формулу (7), для кожного значення \(u\), обчислюємо значення \(v\) $$v = -\frac{p}{3u}$$ В результаті отримуємо три пари величин \(u\) и \(v\)
4) Для кожної пари величин \(u\) і \(v\), по формулі (5) знаходимо значения коренів зведенного рівняння (3).
5) Розраховуємо значення коренів вихідного рівняння (1) по формулі \(x = y - \frac{a}3\).
У такий спосіб ми отримуємо значення трьох коренів вихідного рівняння. При \(Q = 0\) два або три корені є кратними (рівними).

На кроці 3) даного алгоритму можна поступити інакше. Ми можемо обчислити три значення величини \(v\) по формулі (10). І далі скласти три пари коренів \(u\) і \(v\) так, щоб для кожної пари виконувалось співвідношення
(7)   $$u v = - \frac{p}3$$

Випадок Q ≥ 0

Розглянемо випадок \(Q ≥ 0\). При цьому \(u^3\) і \(v^3\) є дійсними числами. Введемо позначення. Нехай   \(A = \sqrt[3\;]{-\frac{q}2 + \sqrt{ Q }}\)   і   \(B = \sqrt[3\;]{-\frac{q}2 - \sqrt{ Q }}\)   обозначают действительные значения кубических корней.

Найдем остальные значения корней \(u\) і \(v\). Запишем \(u^3\) і \(v^3\) в наступному вигляді:
$$u^3 = A^3 \large e^{i 2 \pi n}$$;   $$v^3 = B^3 \large e^{i 2 \pi n}$$, де \(n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, ...\) – є ціле число; \(i\) – уявна одиниця, \(i^2 = -1\).
Тоді
\(u = A \large e^{ i \frac{2 \pi n}3 }\).
Присвоївши \(n\) значення \(0, \, 1, \, 2\), отримуємо три корені:
\(n = 0\), \(u_0 = A\);
\(n = 1\), \(u_1 = A {\large e^{ i \frac{2 \pi}3 }} = A \left( \cos \frac{2 \pi}3 + i \sin \frac{2 \pi}3 \right) = A \left( - \frac12 + i \frac{\sqrt 3}2 \right)\);
\(n = 2\), \(u_2 = A {\large e^{ i \frac{4 \pi}3 }} = A \left( \cos \frac{4 \pi}3 + i \sin \frac{2 \pi}3 \right) = A \left( - \frac12 - i \frac{\sqrt 3}2 \right)\).
Так само отримуємо три корені \(v\):
\(v_0 = B\);
\(v_1 = B \left( - \frac12 + i \frac{\sqrt 3}2 \right)\);
\(v_2 = B \left( - \frac12 - i \frac{\sqrt 3}2 \right)\).

Тепер групуємо \(u\) і \(v\) в пари, щоб, для кожної пари виконувалось співвідношення
(7)   \(u v = - \frac{p}3\).
Оскільки   \(Q = \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}2 \right)^2\), то
\(A^3 B^3 = \left( -\frac{q}2 + \sqrt{ Q } \right) \left( -\frac{q}2 - \sqrt{ Q } \right) = \left( \frac{q}2 \right)^2 - Q = - \left( \frac{p}{3} \right)^3\).
Тогда
\(A B = - \frac{p}3\).
Звідси отримуємо першу пару: \((u_0, v_0)\).
Далі зауважуємо, що
\(\left( - \frac12 + i \frac{\sqrt 3}2 \right)\left( - \frac12 - i \frac{\sqrt 3}2 \right) = \left( \frac12 \right)^2 - i^2 \left( \frac{\sqrt 3}2 \right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1\).
Тому
\(u_1 v_2 = - \frac{p}3\);   \(u_2 v_1 = - \frac{p}3\).
Тоді \((u_1, v_2)\) и \((u_2, v_1)\) є ще двома парами.

Тепер отримуємо три корені зведеного рівняння:
\(y_1 = u_0 + v_0 = A + B\);
\(y_2 = u_1 + v_2 = A \left( - \frac12 + i \frac{\sqrt 3}2 \right) + B \left( - \frac12 - i \frac{\sqrt 3}2 \right) = - \frac{A+B}2 + i \frac{A-B}2 \sqrt{3}\);
\(y_3 = u_2 + v_1 = A \left( - \frac12 - i \frac{\sqrt 3}2 \right) + B \left( - \frac12 + i \frac{\sqrt 3}2 \right) = - \frac{A+B}2 - i \frac{A-B}2 \sqrt{3}\).
Їх також можна записати у такому вигляді:
(12)   \(y_1 = A + B\);   \(y_{2,3} = - \frac{A+B}2 \pm i \frac{A-B}2 \sqrt{3}\).
Ці формули називаються формулою Кардано.

При  \(Q = 0\), \(A = B\). Два корені є кратними:
\("y_1 = 2A\);   \(y_2 = y_3 = - A\).
При \(A = 0\) всі три корені є кратними:
\(y_1 = y_2 = y_3 = 0\).

Випадок Q < 0

Якщо ми простежимо виведення формули (12), то побачимо, що весь вивід збереже силу і за негативного значення Q. Тобто A і B можуть бути комплексними. Тоді для A і B можна вибрати будь-які значення кубічних коренів, між якими виконується співвідношення
\(A B = - \frac{p}3\).

Формула Кардано для розв'язку кубічного рівняння

Отже, ми встановили, що корені зведеного кубічного рівняння
\(y^3 + p y + q = 0\)
можна знайти по формулі Кардано:
\(y_1 = A + B\),   \(y_{2,3} = - \frac{A+B}2 \pm i \frac{A-B}2 \sqrt{3}\),
де
\(A = \sqrt[3 \;]{ - \frac{q}2 + \sqrt{Q} \; }\);   \(B = \sqrt[3 \;]{ - \frac{q}2 - \sqrt{Q} \; }\);   \(A B = - \frac{p}3\);
\(Q = \left( \frac{p}3 \right)^3 + \left( \frac{q}2 \right)^2\).

Однак, при \(Q \lt 0\), формула Вієта є зручнішою.

Калькулятор кубічного рівняння

---

Цей онлайн-калькулятор є розв’язувачем кубічних рівнянь, який знаходить корені рівняння полінома третього порядку за формулою Кардано. Введіть коефіцієнти a, b, c, d кубічного рівняння в полях калькулятора (Увага: a повинно бути відмінним від 0!). Розв’язками кубічних рівнянь зазвичай є три різні дійсні корені або один дійсний і два комплексних корені або два дійсні корені.

---

ax³ + bx² + cx + d = 0

---

Знаходження коренів кубічного рівняння з використанням формули Вієта

Кубічне рівняння - це рівняння виду $$a{ x }^{ 3 }+b{ x }^{ 2 }+cx+d=0 $$

Після ділення на “\(a\)“ це рівняння приймає канонічний вид: $${ x }^{ 3 }+a{ x }^{ 2 }+bx+c=0 $$

і тоді формули Вієта можна використовувати для розв’язання цього рівняння. Спочатку нам потрібно розрахувати деякі допоміжні параметри:

$$Q=\frac { { a }^{ 2 }-3b }{ 9 } ,\quad R=\frac { 2{ a }^{ 3 }-9ab+27c }{ 54 },$$ $$\quad S={ Q }^{ 3 }-{ R }^{ 2 }.$$

Якщо:
S < 0 - то рівняння має один дійсний корінь і два комплексні;
S = 0 - то всі корені рівняння є дійсними числами, при чому принаймні два з них є однаковими;
S > 0 - то всі три корені рівняння є різними дійсними числами;

Якщо \(S>0\) ми повинні знайти новий параметр \(\phi \): $$\\ \phi =\frac { 1 }{ 3 } arccos\left( \frac { R }{ \sqrt { { Q }^{ 3 } } } \right) $$ а кубічне рівняння в цьому випадку має три дійсні корені, які можна знайти наступним чином: $${ x }_{ 1 }=-2\sqrt { Q } cos(\phi )-\frac { a }{ 3 }, $$ $${ x }_{ 2 }=-2\sqrt { Q } cos(\phi +\frac { 2 }{ 3 } \pi )-\frac { a }{ 3 } ,$$ $${ x }_{ 3 }=-2\sqrt { Q } cos(\phi -\frac { 2 }{ 3 } \pi )-\frac { a }{ 3 } .$$

Якщо \(S<0\) тригонометричні функції необхідно замінити гіперболічними функціями. У випадку \(Q>0\) маємо один дійсний і два комплексних кореня:

$$\phi =\frac { 1 }{ 3 } Arch\left(\frac { |R| }{ \sqrt { { Q }^{ 3 } } } \right),$$ $${ x }_{ 1 }=-2sgn(R)\sqrt { Q } ch(\phi )-\frac { a }{ 3 } ,$$ $${ x }_{ 2,3 }=sgn(R)\sqrt { Q } ch(\phi )-\frac { a }{ 3 } \pm i\sqrt { 3Q } sh(\phi ) .$$

Якщо \(Q<0\) ми також маємо один дійсний і два комплексних кореня:

$$\phi =\frac { 1 }{ 3 } Arsh\left(\frac { |R| }{ \sqrt { { |Q| }^{ 3 } } } \right),$$ $${ x }_{ 1 }=-2sgn(R)\sqrt { |Q| } sh(\phi )-\frac { a }{ 3 } ,$$ $${ x }_{ 2,3 }=sgn(R)\sqrt { |Q| } sh(\phi )-\frac { a }{ 3 } \pm i\sqrt { 3|Q| } ch(\phi ) .$$

Якщо \(S = 0\), тоді рівняння є виродженим і має менше 3 різних розв’язків (насправді лише два корені):

$${ x }_{ 1 }=-2sgn(R)\sqrt { Q } -\frac { a }{ 3 } ,$$ $${ x }_{ 2 }=sgn(R)\sqrt { Q } -\frac { a }{ 3 } .$$

Калькулятор кубічного рівняння

Цей онлайн-калькулятор є розв’язувачем кубічних рівнянь, який знаходить корені рівняння полінома третього порядку з використанням формули Вієта. Введіть коефіцієнти a, b, c, d кубічного рівняння в полях калькулятора (Увага: a повинно бутивідмінним від 0!). Розв’язками кубічних рівнянь зазвичай є три різні дійсні корені або один дійсний і два комплексних корені або два дійсні корені.