Короткий опис:

Деякі формули математики. Визначений інтеграл

Середнє арифметичне, формула

Середня арифметична величина (або Середнє арифметичне ) отримується від додавання даних величин і ділення їх суми на число цих величин:

Середнє геометричне, формула

Середня геометрична величина ( або Середнє геометричне ) отримується від перемноження даних величин і добування з цього добутку кореня, показник якого дорівнює числу цих величин:

Середнє квадратичне відхилення, формула

Середнє квадратичне відхилення — це квадратний корінь із середнього арифметичного всіх квадратів різниць між даними величинами та їх середнім арифметичним. Середнє квадратичне відхилення прийнято позначати грецькою буквою сигма σ:

Тут:

Середнє гармонійне, формула

Середня гармонійна величина ( або Середнє гармонійне) отримується від ділення числа даних величин на суму величин зворотних даних:

Сума арифметичної прогресії, формула.

Сума арифметичної прогресії виражається формулою:

Сума геометричної прогресії, формула.

Сума геометричної прогресії виражається формулою:

Сума прогресу, що нескінченно спадає, формула.

Сума нескінченно спадної прогресії , це число, до якого необмежено наближається сума перших n членів спадної прогресії при необмеженому зростанні числа n. Сума нескінченно спадної прогресії виражається формулою:

Відстань між двома точками, формула

Відстань між двома точками

Відстань між двома точками A₁ ( x₁ ; y₁ ) та A₂ ( x₂ ; y₂ ) у прямокутній системі координат виражається формулою:

Площа трикутника через координати

Якщо вершини трикутника задані, як точки у прямокутній декартовій системі координат: A ₁(x₁,y₁), A ₂(x₂,y₂), A ₃(x₃,y₃), то площу такого трикутника можна обчислити за формулою визначника другого порядку:

Логарифм числа, формула

Логорифм числа N при основі a — це такий показник степеня x, до якого потрібно звести число a, щоб отримати число N.

Для логарифму числа справедлива така тотожність

Число a (основа логарифму), і N (число) можна брати і цілими і дробовими, але обов'язково позитивними, якщо логарифм має бути дійсним, інакше він буде комплексним числом.

Саме значення логарифму числа може бути негативним. Негативні логарифми также важливі, як і позитивні.

Якщо основа логарифму a більша 1 то більше число N має більший логарифм

для прикладу

Якщо число N > 1 (більше одиниці), то логарифм числа є позитивним

Якщо число N < 1 (меньше одиниці), то логарифм числа від'ємний

логарифм одиниці при любій основі дорівнює нулю

логарифм числа N рівного основі a завжди дорівнює одиниці!

Логарифм добутку, формула

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.

Логарифм частки, формула

Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів діленого та дільника.

Логарифм степеня, формула

Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня на логарифм його основи.

Ця рівність справедлива, тільки якщо

Логарифм кореня, формула

Логарифм кореня дорівнює частці від ділення логарифму підкореневого числа на показник кореня.

Число е

Для практичного застосування найбільш зручною основою логарифмів є число 10 . Але для теоретичних досліджень найбільш придатна інша основа: ірраціональне число е

Цілочисленна функція

при n → ∞ зростає, але залишається обмеженою. Будь-яка зростаюча, але обмежена величина має кінцеву межу. Границею даної функції і є число е

Визначений інтеграл

В багатьох задачах, що пов’язані з аналізом, ідентифікацією, оцінкою якості різних засобів та систем автоматики та управління, виникає необхідність обчислення певних інтегралів.

Якщо функція \( f{(x)} \) неперервна на відрізку \( [a,b] \) й відома її первісна \( f{(x)} \) , то визначений інтеграл від а до в може бути обчислений за формулою Ньютона – Лейбніца \[ I=\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a), \] де \[ F'(x) = f(x) \] .

Графічно інтеграл визначається площею, що обмежується графіком функції \[ y=f(x) \] .

Але часто точно обчислити інтеграл дуже важко, а може і неможливо через велику складність аналітичних перетворень. Задача чисельного інтегрування (numerical integration) функції полягає в обчисленні значення визначеного інтегралу на основі ряду значень підінтегральної функції. Формули чисельного інтегрування часто називають квадратурними. Найбільш відомими методами знаходження визначених інтегралів є:

• формули прямокутників;
• методи Ньютона-Котеса, Гаусса, Чебишева, які основані на використанні так званих квадратурних формул, отриманих заміною \( f{(x)} \) інтерполяційними багаточленами;

Наближене обчислення визначеного інтегралу

Метод середніх прямокутників

Створимо підпрограму для обчислення інтегралу від довільної функції, заданої користувачем

<script type="text/javascript">
var a, b, n, f;
a = 2;
b = 5;
n = 100;
f = "1/log(x)";
integral(a, b, n, f);
function integral(a, b, n, f) {
var s, d, xb, xe, x, t;
s = 0;
d = (b - a)/n;
xb = a;
t = f;
f= "with (Math) {" + f + "}";
    for(i = 0; i < n; i++){
        xe = xb + d;
        x = (xb + xe)/2;
        s = s + d*eval(f);
        xb = xe;
    }
    t = " Інтеграл від " + t  + "  = " + s;
    document.write(t);
}//function integral
</script>

Завдання для самостійної роботи
В якості самостійної роботи рекомендується написати підпрограму-функцію для обчислення визначеного інтеграла за методом Сімпсона.

Остаточний варіант програми

Незначне доопрацювання дозволяє отримати програму для обчислення інтеграла від довільного підінтегрального виразу з простим і зрозумілим інтерфейсом, що наводиться нижче.

Завдання для самостійної роботи

Використовуючи програму, обчислити інтеграли

1. Обчислити приблизно \[ \int_{0}^{1} \sqrt{1+x} \cdot \, dx \]
Відповідь: 1,2189514164974600650689182989463.

2. Обчислити приблизно \[ \int_{-2}^{1} \frac{1}{(11+5x)^3} \, dx\]
Відповідь: 7/72.

3. Обчислити приблизно \[ \int_{4}^{9} \frac{y-1}{\sqrt{y}+1} \, dy\]
Відповідь: 23/3.

4. Обчислити приблизно \[ \int_{0}^{16} \frac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} \, dx\]
Відповідь: 12.

5. Обчислити приблизно \[ \int_{0}^{1} \frac{xdx}{(x^2+1)^2} \]
Відповідь: 0,25.

6. Обчислити приблизно \[ \int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}dx}{x^2} \]
Відповідь: 1,069560557758917088511636683538.

7. Обчислити приблизно \[ \int_{\frac{1}{2}}^{ \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^3dx}{(5/8-x^4) \sqrt{5/8-x^4}} \]
Відповідь: 4/3.

8. Обчислити приблизно \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+cos{x}} \]
Відповідь: 2.

9. Обчислити приблизно \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^5{(x)} sin{(2x)} \, dx \]
Відповідь: 2/7.

10. Обчислити приблизно \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ cos{(x)}-cos^3{(x)} }dx \]
Відповідь: 4/3.

11. Обчислити приблизно \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos^7{(2x)} \, dx \]
Відповідь: 8/35.

12. Обчислити приблизно \[ \int_{0}^{^5\sqrt{2} } \frac{x^9}{(1+x^5)^3 } \, dx \]
Відповідь: 2/45.